3.9 Transformada de Integrales

Definición 1.1 (Transformada integral)   La transformada integral L respecto al núcleo  respecto el núcleo F(t )  en el intervalo (a,b) de la función F(x) se define de la forma

Donde s es la variable transformada.El operador de transformación L es lineal, así como el operación de transformación inversa X-1 .


En utilizar la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales, las condiciones iniciales aparecen en transformar las derivadas de la función incógnita. Para obtener la ecuación general se asigna un valor constante a las condiciones iniciales. Este método suele ser útil tan solo si los coeficientes de la ecuación diferencial son polinomios de orden menor que el grado de la ecuación.

Teorema 2.8 (Teorema de diferenciación)   Sea F (t) continua y derivable por partes en 0<t<T , sea f(t) de orden exponencial. Entonces existe la transformada de Laplace de la derivada y su valor es

En general, para n>1 , se tiene

3.8 Transformada de derivadas (teorema).

La primera integral 

 

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que 

Ahora, como

3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t.

INTRODUCCIÓN: En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que                    existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

Es decir:

Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t2f(t):de la siguiente manera:

3.6 propiedades de la transformada de laplace(linealidad, teoreama de traslacion)

3.5 Función escalón unitario.

La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente seria de la forma:

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo. Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación. En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:   Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se obtiene la siguiente gráfica: Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante con los mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a partir de este momento tiene como valor f(t). Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la figura: Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la figura: En las dos imágenes anteriores se realizo un corrimiento sobre el eje del tiempo, en una se hizo hacia la izquierda y en otra hacia la derecha, en ambos casos se vario la forma de u(t), es así, que para realizar el corrimiento hacia la izquierda se cambio la función u(t) por u(t+1), logrando un corrimiento hacia la izquierda de 1, dando como resultado que la función f(t) no inicie en t = 0, sino que inicie en t = -1,si se desea que el valor de t para que inicie la función f(t) sea por ejemplo t = -5, solo se debe variar u(t) a u(t+5)y multiplicarlo por f(t); así mismo, para realizar el corrimiento hacia la derecha de la función f(t)*u(t) se debe variar u(t), en este caso se resta el valor en el cual se quiere que la función u(t) cambie de estado. Debido a lo anterior se puede definir de una manera más general la función escalón unitario,así: Como se puede observar cuando to = 0, se tiene como resultado la definición dada anteriormente.

3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es lafunción F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimientode f(t).
Existencia de la Transformada 
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera:
  1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo 
  2. Ser de orden exponencial 

Transformada de Laplace de funciones básicas.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.



La idea básica del llamado Cálculo Operativo consiste en establecer una 
correspondencia funcional o transformación de modo que si a una función f(x) dada 
le corresponde un conjunto  L[f(x)] de operaciones, o un conjunto de ecuaciones 
L[f(x)]=0, a la función transformada correspondiente  F(s) le corresponderá el 
conjunto de operaciones  L[F(s)] o bien un conjunto de ecuaciones  L[F(s)]=0. La 
utilidad de esta correspondencia funcional se manifiesta cuando el conjunto de 
operaciones,  L[F(s)], o de ecuaciones transformadas L[F(s)]=0 es de más sencilla 
resolución que las operaciones correspondientes  L[f(x)], o ecuaciones 
correspondientes L[f(x)]=0 en la función original f(x).
Pueden ser ideadas, obviamente, múltiples reglas de transformación. En particular 
han resultado efectivas las llamadas transformadas integrales, por la que se define 
la función transformada  F(s) como una integral de la función original  f(x)
multiplicada por alguna función arbitraria de las variables x y s que se denomina en 
general Núcleo de la transformación: 




b
a
F(s)

=

∫

 K(s, x). f (x).dx

En todas las transformadas integrales es el núcleo de la transformación,  K(s, x) , y,


en algún caso, los límites de integración,  a y  b, lo que define el tipo de
transformada integral.
Son ejemplos de transformadas integrales las siguientes:
a. Transformada de Fourier por senos:

∞

0
F(s)=∫ sen(st). f (t).dt

3.3Trasformada de Laplace de funciones básicas.

•La Transformada de Laplace es un método operacional que 
puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
iales en ecuaciones algebraicas  •Transforma ecuaciones diferenc
 s de una variable compleja

Si la ecuación algebraica se resuelve en  
encontrar la solución de la ecuación diferencial 
(Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de  
la técnica de expansión en  transformadas, o bien mediante 
fracciones parciales.






si f(t)=g(t)
L[f(t)]=L[g(t)]
f(S)=g(s)
cambio de variable t----->s



Resolución del problema en el dominio s   X(s)
Interpretación y expresión de la solución en el 
dominio t

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral.

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Para realizar el cálculo simbólico de la transformada de Laplace se debe utilizar el comando f=laplace(F), donde  F corresponde a una función escalar cuya variable de trabajo es t mientras que f es una función cuya variable por defecto es s.

Ejemplo 1 de cálculo de la transformada de Laplace

>>syms t s
>>laplace(1,t,s)
ans =1/s

Ejemplo 2 de cálculo de la transformada de Laplace.

>>syms a;
>>laplace(exp(-a*t),t,s)
ans =1/(s+a)