3.16 Propiedades de la transformada inversa (linealidad y traslación).

3.16.1 Determinacion Trasformada Inversa Mediante Fracciones Parciales

3.15 Algunas Trasformadas Inversas

3.14 Transformada inversa

3.13 Trasformada De Laplace Funcion Delta Dirac

1.0. Definición intuitiva.

La definición que a continuación expongo de la Delta de Dirac es la que normalmente se expone en una carrera de ingeniería. Es una definición que parte de una "abstracción física": un choque o golpe en mecánica o un "chispazo" en electricidad.
Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energía cinética la fuerza f aplicada nos determina la duración t para alcanzar dicha energía cinética. Si aumentamos f el tiempo necesario será menor. En el límite cuando t tiende a 0 tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Sería el equivalente físico a un "martillazo": un golpe instantáneo de gran fuerza.
De esta forma definimos la Delta de Dirac como una "función" que vale 0 en todos los puntos salvo en el origen que vale infinito y cuya area (integral de -infinito a +infinito) vale 1:

3.12 Función delta de Dirac

INTRUDUCCIÓN: En el subtema 3.4 se indicó que para la existencia de la transformada de Laplace no basta con que se cumplan las dos condiciones de existencia (que la función t sea continua por partes y que sea de orden exponencial) sino que además deberá cumplirse que el límite de F (s) =0. Por lo tanto F (s) = 1 no puede ser la transformada de Laplace de una función f que cumple con las dos condiciones de existencia mencionadas anteriormente

En este subtema se introduce una función que es muy diferente a las que se han estudiado en cursos anteriores. Se verá que de hecho existe una función o, de manera mas precisa, una función generalizada, cuya transformada de Laplace es F (s) = 1.

FUNCIÓN DELTA DE DIRAC: En la práctica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con una “función” que aproxima                  y se define mediante el límite siguiente: 

El impulso unitario              S(t-to)         se llamafunción delta de Dirac

 

3.11 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

FUNCIONES PERIÓDICAS

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

TEOREMA (Transformada de una función periodica)

Demostración
Usando la definición

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCION

Convolución y transformadas

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

 

 

El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con   . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea  el operador de la transformada de Fourier, con lo que   y   son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.