3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es lafunción F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimientode f(t).
Existencia de la Transformada 
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera:
  1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo 
  2. Ser de orden exponencial 

Transformada de Laplace de funciones básicas.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.



La idea básica del llamado Cálculo Operativo consiste en establecer una 
correspondencia funcional o transformación de modo que si a una función f(x) dada 
le corresponde un conjunto  L[f(x)] de operaciones, o un conjunto de ecuaciones 
L[f(x)]=0, a la función transformada correspondiente  F(s) le corresponderá el 
conjunto de operaciones  L[F(s)] o bien un conjunto de ecuaciones  L[F(s)]=0. La 
utilidad de esta correspondencia funcional se manifiesta cuando el conjunto de 
operaciones,  L[F(s)], o de ecuaciones transformadas L[F(s)]=0 es de más sencilla 
resolución que las operaciones correspondientes  L[f(x)], o ecuaciones 
correspondientes L[f(x)]=0 en la función original f(x).
Pueden ser ideadas, obviamente, múltiples reglas de transformación. En particular 
han resultado efectivas las llamadas transformadas integrales, por la que se define 
la función transformada  F(s) como una integral de la función original  f(x)
multiplicada por alguna función arbitraria de las variables x y s que se denomina en 
general Núcleo de la transformación: 




b
a
F(s)

=

∫

 K(s, x). f (x).dx

En todas las transformadas integrales es el núcleo de la transformación,  K(s, x) , y,


en algún caso, los límites de integración,  a y  b, lo que define el tipo de
transformada integral.
Son ejemplos de transformadas integrales las siguientes:
a. Transformada de Fourier por senos:

∞

0
F(s)=∫ sen(st). f (t).dt