3.16 Propiedades de la transformada inversa (linealidad y traslación).

3.16.1 Determinacion Trasformada Inversa Mediante Fracciones Parciales

3.15 Algunas Trasformadas Inversas

3.14 Transformada inversa

3.13 Trasformada De Laplace Funcion Delta Dirac

1.0. Definición intuitiva.

La definición que a continuación expongo de la Delta de Dirac es la que normalmente se expone en una carrera de ingeniería. Es una definición que parte de una "abstracción física": un choque o golpe en mecánica o un "chispazo" en electricidad.
Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energía cinética la fuerza f aplicada nos determina la duración t para alcanzar dicha energía cinética. Si aumentamos f el tiempo necesario será menor. En el límite cuando t tiende a 0 tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Sería el equivalente físico a un "martillazo": un golpe instantáneo de gran fuerza.
De esta forma definimos la Delta de Dirac como una "función" que vale 0 en todos los puntos salvo en el origen que vale infinito y cuya area (integral de -infinito a +infinito) vale 1:

3.12 Función delta de Dirac

INTRUDUCCIÓN: En el subtema 3.4 se indicó que para la existencia de la transformada de Laplace no basta con que se cumplan las dos condiciones de existencia (que la función t sea continua por partes y que sea de orden exponencial) sino que además deberá cumplirse que el límite de F (s) =0. Por lo tanto F (s) = 1 no puede ser la transformada de Laplace de una función f que cumple con las dos condiciones de existencia mencionadas anteriormente

En este subtema se introduce una función que es muy diferente a las que se han estudiado en cursos anteriores. Se verá que de hecho existe una función o, de manera mas precisa, una función generalizada, cuya transformada de Laplace es F (s) = 1.

FUNCIÓN DELTA DE DIRAC: En la práctica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con una “función” que aproxima                  y se define mediante el límite siguiente: 

El impulso unitario              S(t-to)         se llamafunción delta de Dirac

 

3.11 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

FUNCIONES PERIÓDICAS

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

TEOREMA (Transformada de una función periodica)

Demostración
Usando la definición

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCION

Convolución y transformadas

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

 

 

El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con   . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea  el operador de la transformada de Fourier, con lo que   y   son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

3.9 Transformada de Integrales

Definición 1.1 (Transformada integral)   La transformada integral L respecto al núcleo  respecto el núcleo F(t )  en el intervalo (a,b) de la función F(x) se define de la forma

Donde s es la variable transformada.El operador de transformación L es lineal, así como el operación de transformación inversa X-1 .


En utilizar la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales, las condiciones iniciales aparecen en transformar las derivadas de la función incógnita. Para obtener la ecuación general se asigna un valor constante a las condiciones iniciales. Este método suele ser útil tan solo si los coeficientes de la ecuación diferencial son polinomios de orden menor que el grado de la ecuación.

Teorema 2.8 (Teorema de diferenciación)   Sea F (t) continua y derivable por partes en 0<t<T , sea f(t) de orden exponencial. Entonces existe la transformada de Laplace de la derivada y su valor es

En general, para n>1 , se tiene

3.8 Transformada de derivadas (teorema).

La primera integral 

 

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que 

Ahora, como

3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t.

INTRODUCCIÓN: En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que                    existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

Es decir:

Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t2f(t):de la siguiente manera:

3.6 propiedades de la transformada de laplace(linealidad, teoreama de traslacion)

3.5 Función escalón unitario.

La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente seria de la forma:

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo. Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación. En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:   Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se obtiene la siguiente gráfica: Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante con los mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a partir de este momento tiene como valor f(t). Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la figura: Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la figura: En las dos imágenes anteriores se realizo un corrimiento sobre el eje del tiempo, en una se hizo hacia la izquierda y en otra hacia la derecha, en ambos casos se vario la forma de u(t), es así, que para realizar el corrimiento hacia la izquierda se cambio la función u(t) por u(t+1), logrando un corrimiento hacia la izquierda de 1, dando como resultado que la función f(t) no inicie en t = 0, sino que inicie en t = -1,si se desea que el valor de t para que inicie la función f(t) sea por ejemplo t = -5, solo se debe variar u(t) a u(t+5)y multiplicarlo por f(t); así mismo, para realizar el corrimiento hacia la derecha de la función f(t)*u(t) se debe variar u(t), en este caso se resta el valor en el cual se quiere que la función u(t) cambie de estado. Debido a lo anterior se puede definir de una manera más general la función escalón unitario,así: Como se puede observar cuando to = 0, se tiene como resultado la definición dada anteriormente.

3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es lafunción F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimientode f(t).
Existencia de la Transformada 
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera:
  1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo 
  2. Ser de orden exponencial 

Transformada de Laplace de funciones básicas.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.



La idea básica del llamado Cálculo Operativo consiste en establecer una 
correspondencia funcional o transformación de modo que si a una función f(x) dada 
le corresponde un conjunto  L[f(x)] de operaciones, o un conjunto de ecuaciones 
L[f(x)]=0, a la función transformada correspondiente  F(s) le corresponderá el 
conjunto de operaciones  L[F(s)] o bien un conjunto de ecuaciones  L[F(s)]=0. La 
utilidad de esta correspondencia funcional se manifiesta cuando el conjunto de 
operaciones,  L[F(s)], o de ecuaciones transformadas L[F(s)]=0 es de más sencilla 
resolución que las operaciones correspondientes  L[f(x)], o ecuaciones 
correspondientes L[f(x)]=0 en la función original f(x).
Pueden ser ideadas, obviamente, múltiples reglas de transformación. En particular 
han resultado efectivas las llamadas transformadas integrales, por la que se define 
la función transformada  F(s) como una integral de la función original  f(x)
multiplicada por alguna función arbitraria de las variables x y s que se denomina en 
general Núcleo de la transformación: 




b
a
F(s)

=

∫

 K(s, x). f (x).dx

En todas las transformadas integrales es el núcleo de la transformación,  K(s, x) , y,


en algún caso, los límites de integración,  a y  b, lo que define el tipo de
transformada integral.
Son ejemplos de transformadas integrales las siguientes:
a. Transformada de Fourier por senos:

∞

0
F(s)=∫ sen(st). f (t).dt