3.3Trasformada de Laplace de funciones básicas.

•La Transformada de Laplace es un método operacional que 
puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
iales en ecuaciones algebraicas  •Transforma ecuaciones diferenc
 s de una variable compleja

Si la ecuación algebraica se resuelve en  
encontrar la solución de la ecuación diferencial 
(Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de  
la técnica de expansión en  transformadas, o bien mediante 
fracciones parciales.






si f(t)=g(t)
L[f(t)]=L[g(t)]
f(S)=g(s)
cambio de variable t----->s



Resolución del problema en el dominio s   X(s)
Interpretación y expresión de la solución en el 
dominio t

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral.

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Para realizar el cálculo simbólico de la transformada de Laplace se debe utilizar el comando f=laplace(F), donde  F corresponde a una función escalar cuya variable de trabajo es t mientras que f es una función cuya variable por defecto es s.

Ejemplo 1 de cálculo de la transformada de Laplace

>>syms t s
>>laplace(1,t,s)
ans =1/s

Ejemplo 2 de cálculo de la transformada de Laplace.

>>syms a;
>>laplace(exp(-a*t),t,s)
ans =1/(s+a)

3.2 Condiciones suficientes de existencia

Condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace.

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

f:[a,b]Decimos que una R función es continua a trozos si:

k=1,2.....nf está definida y es continua en todo xE[a,b], salvo en un número finito de puntos xk, para

1. xE[a,b]

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de [a,b].

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos xk implica que las únicas discontinuidades de f son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura

3.1 Definición de la trasformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad ampliade problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

• 
  
  Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
• Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
• Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
• Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ()

El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.
Definimos:
f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral.
s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.
L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace